functievergelijking

De enige functie die voldoet is $f(x) = x+\frac{1}{x}$
Bewijs.
Stel $g^1 = g(x) = \frac{1}{1-x}$. Dan is $g^2=g \circ g(x) = 1- \frac{1}{x}$ en $g^0 =g \circ g\circ g(x) = x$.
Hierbij geldt $g^0,g^1,g^2$ zijn bijecties van $\mathbb{R} \setminus \left\{0,1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \setminus \left\{0,1\right\}$.

De gegeven betrekking $f(g^0) + f(g^1) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x} = 2 - g^2 + g^1$ (a)
geldt dus ook voor $y=g(x)$; dit geeft $f(g^1) + f(g^2) = 2-g^0 + g^2$ (b).
Ze geldt ook voor $z = g \circ g(x)$; dit geeft $f(g^2) + f(g^0) = 2-g^1 + g^0$ (c).

Bekijken we nu (a) - (b) + (c):
$2f(g^0) = 2 - g^2 + g^1 - 2+g^0 - g^2+2-g^1 + g^0 = 2 +2g^0- 2 g^2$
$\Rightarrow f(g^0) = 1 + g^0- g^2$
$\Rightarrow f(x) = 1 + x - 1 + \frac{1}{x} = x+\frac{1}{x}$