MOAWOA 2014

Dag 1

Vraag 1

$10$ Personen in een rij zijn genummerd van $1$ tot $10$.
Bij de start krijgt speler $i$ $i$ munten.
In iedere zet, zal een persoon $i$ met $2\le i \le9$ met minimum $2$ munten aan elke buur een munt afgeven. Dit blijft men zo lang mogelijk doen.
De game eindigt wanneer iedere speler $i$ met $2\le i \le9$ max $1$ munt heeft.
a
Bewijs dat het spel ooit eindigt.
b
Bewijs dat aan het einde, persoon $4$ altijd de enige persoon is zonder munt, onafhankelijk van hoe werd gespeeld.

Vraag 2

Zij $G$ een groep waarvan de commutatordeelgroep $[G,G]=\{aba^{-1}b^{-1}|a,b\in G \}$ een deel is van het centrum $Z(G)$ ( de elementen uit $G$ die commuteren met alle andere elementen).
Stel dat $f$:$G \to H$ een homomorfisme is van $G$ naar een groep $H$ zodat $f$ injectief is over $Z(G)$. Bewijs dat $f$ injectief is.

Vraag 3

Bewijs dat er oneindig veel $(x,y) \in N^2$ zijn zodat

$x|n+y^2$
$y|n+x^2$

Vraag 4

Zij $F$ de verzameling van alle strikt stijgende functies $f$:$N \to N$ zodat $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{f(n)}=1$.
Vind de kardinaliteit van $F$.

Vraag 5

Zij $X_1$ tot $X_{120}$ $120$ verschillende deelverzamelingen van $Y=\{1,2\cdots,2014\}$.
De score van een deelverzaming $U \subseteq Y$ is gelijk aan het aantal sets $X_i$ zodat $|X_i \cap U|$ even is MIN het aantal sets $X_i$ zodat $|X_i \cap U|$ oneven is .
Bewijs dat er zo'n $U$ bestaat met een score in het interval $[-10,10]$.