injectief groepshomomorfisme

Zij $G$ een groep waarvan de commutatordeelgroep $[G,G]=\{aba^{-1}b^{-1}|a,b\in G \}$ een deel is van het centrum $Z(G)$ ( de elementen uit $G$ die commuteren met alle andere elementen).
Stel dat $f$:$G \to H$ een homomorfisme is van $G$ naar een groep $H$ zodat $f$ injectief is over $Z(G)$. Bewijs dat $f$ injectief is.