EMC 2013

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

In ieder veld van een tabel is er een reel getal. We noemen zo'n $n \times n$ tabel (of matrix) gekals ieder vak gelijk is aan het product van alle getallen in de buurvelden.

Vind alle $2 \times 2$ gekke tabellen.
Vind alle $3 \times 3$ gekke tabellen.

Vraag 2 Opgelost!

Een Palindroom is een rij/getal van een aantal digits die niet verandert van volgorde als je de volgorde omdraait.
Bewijs dat de rij ${(x_n)}_{n=0}^{\infty}$ gedefinieerd door

$$
x_n=2013+317n
$$
oneindig veel getallen bevat waarvoor de decimale expansie gelijk is aan een palindroom.

Vraag 3

We noemen een rij van $n$ digits die gelijk zijn aan $0$ of $1$ een code. Een subrij van een code is een palindroom als het hetzelfde is wanneer we de cijfers omdraaien. Een palindroom is mooi genoemd als het getallen bevat die opeenvolgend in de code stonden. Bvb. code $(1101)$ bevat 10 palindromen $[1,1,0,1,11,11,11,111,101,101]$, waarvan er 6 mooi zijn $[1,1,0,1,11,101]$.)

Wat is het minimum aantal palindromen in een code?

Wat is het minimum aantal mooie palindromen in een code?

Vraag 4

Gegeven een driehoek $ABC$, zij $D,E,F$ de snijpunten van de hoogtelijnen van $A,B,C$ op de overstaande zijden respectievelijk.
Zij $X,Y,Z$ de middelpunten van $[AD],[BE],[CF]$ respectivelijk. Bewijs dat de loodlijnen van $D$ op $YZ$, van $E$
op $XZ$ en van $F$ op $XY$ concurrent zijn (door $1$ punt gaan).