belgische EMCvraag
Opgave - EMC 2013 dag 1 vraag 2
Een Palindroom is een rij/getal van een aantal digits die niet verandert van volgorde als je de volgorde omdraait.
Bewijs dat de rij ${(x_n)}_{n=0}^{\infty}$ gedefinieerd door
$$
x_n=2013+317n
$$
oneindig veel getallen bevat waarvoor de decimale expansie gelijk is aan een palindroom.
- login om te reageren
Oplossing
Vooreerst merken we op dat $2013=6*317+111$ en dus verkrijgen we dat $x_n=(n+6)317+111$.
Er geldt dat $10^{316} \equiv 1 \pmod{317}$ wegens de kleine stelling van Fermat ($317$ is priem) en $10 \equiv 1 \pmod 9.$
Voor elk natuurlijk getal $k$ is $10^{316k}-1$ dus een veelvoud van zowel $9$ als $317$ en bijgevolg is voor elke $k \ge 1$ het geval $n=\frac{10^{316k}-1}{9*317}*10^{3}-6$ een natuurlijk getal.
Maar voor die keuze geldt dat $(n+6)317+111=\frac{10^{316k}-1}{9}*10^{3}+111=\frac{10^{316k+3}-1}{9}$ enkel het cijfer $1$ bevat en dus duidelijk een palindroom is.
Er zijn dus inderdaad oneindig veel keuzes voor $n$ waarvoor $x_n$ een palindroom is.