JBaMO 2011

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Bewijs dat $ \prod(a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)\geq 8(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1) $ voor $a,b,c>0 $ reeele getallen met $abc=1.$

Vraag 2

Vind alle priemgetallen $p$ zodat er oplossingen $x,y$ in de gehele getallen bestaan voor $ x(y^2-p)+y(x^2-p)=5p $

Vraag 3

$n>3$ is een natuurlijk getal.
Een gelijkzijdige $\triangle {ABC} $ is verdeeld $n^2$ kleinere congruent gelijkzijdige $\triangle$'s (alle zijden $//$ aan die van de oorspronkelijke driehoek).
$m$ is het aantal ruiten dat $2$ kleine driehoekjes bevat en $d$ het aantal ruiten dat bestaat uit $8$ kleine driehoekjes.
Vind de waarde $m-d$ in termen van $n.$

Vraag 4

In een convexe vierhoek $ABCD$ plaatst men punten $E,F$ op $AB,CD$ resp. zodat geldt dat $\tfrac{|AB|}{|AE|}=\tfrac{|CD|}{|DF|}=n.$
Bewijs dat $[AEFD] \leq\frac{AB\cdot CD+n(n-1)AD^2+n^2DA\cdot BC}{2n^2} $