BaMO 2007

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABCD$ een convexe vierhoek met $AB=BC=CD$ en $AC\not=BD$. Als $E$ het snijpunt van de diagonalen van de vierhoek is, bewijs dan dat $AE=DE$ als en slechts als $\angle BAD+\angle ADC = 120^\circ$.

Vraag 2

Vind alle $f\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ waarvoor $f(f(x)+y) = f(f(x)-y)+4f(x)y$ voor alle $x,y\in\mathbb{R}$.

Vraag 3

Vind alle gehele $n>0$ waarvoor er een permutatie $\sigma$ op $\{1,\ldots,n\}$ bestaat waarvoor $$\sqrt{\sigma(1)+ \sqrt{\sigma(2)+ \sqrt{\ldots+\sqrt{\sigma(n-1)+ \sqrt{\sigma(n)}}}}}\in\mathbb{Q}$$ een rationaal getal is.

Vraag 4

Gegeven een geheel getal $n>2$, zij $C_1,C_2,C_3$ de grenzen van drie convexe $n$-hoeken in het vlak, zodat $C_{1}\cap C_{2}$, $C_{2}\cap C_{3}$ en $C_{1}\cap C_{3}$ elk eindig veel punten bevatten. Vind het maximum aantal punten in de verzameling $C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}$.