BaMO 2006

Vraag 1 Opgelost!

Zij $a,b,c>0$. Toon aan dat $$\frac{1}{a\left(b+1\right)}+\frac{1}{b\left(c+1\right)}+\frac{1}{c\left(a+1\right)}\geq \frac{3}{1+abc}. $$

Vraag 2 Opgelost!

Zij $m$ een lijn $m$ die een driehoek $\triangle ABC$ snijdt in $D\in[AB]$ en $F\in[AC]$, en in $E\in BC$ (aan de kant van $C$). Trekken we nu lijnen door $A,B,C$ evenwijdig aan $m$, dan snijden die de omgeschreven cirkel in (naast $A,B,C$ zelf) $A_1,B_1,C_1$.

Bewijs dat $A_1E$, $B_1F$ en $C_1D$ collineair zijn.

Vraag 3

Vind alle drietallen (strikt) positieve rationale getallen $(m,n,p)$ waarvoor $m+\frac 1{np}\in\mathbb{Z}$, $n+\frac 1{pm}\in\mathbb{Z}$ en $p+\frac 1{mn}\in\mathbb{Z}$.

Vraag 4

Zij $m>0$ een geheel getal en $\{a_n\}_{n\ge 0}$ een rij gehele getallen, gegeven door $a_0 = a>0$ en $$a_{n+1} = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle \frac{a_n}2 & \text{ als } a_n \text{ even is}, \\ a_n + m & \text{ anders}. \end{array}\right.$$

Voor welke waarden van $a$ is de rij periodiek (i.e. bestaat er een $k>0$ waarvoor $a_k=a_0$)?