collineair
Opgave - BaMO 2006 vraag 2
Zij $m$ een lijn $m$ die een driehoek $\triangle ABC$ snijdt in $D\in[AB]$ en $F\in[AC]$, en in $E\in BC$ (aan de kant van $C$). Trekken we nu lijnen door $A,B,C$ evenwijdig aan $m$, dan snijden die de omgeschreven cirkel in (naast $A,B,C$ zelf) $A_1,B_1,C_1$.
Bewijs dat $A_1E$, $B_1F$ en $C_1D$ collineair zijn.
- login om te reageren
Oplossing
Even snel mijn bewijs.
Zij $M$ het Miquelpunt van de volledige vierzijde gevormd door de lijnen $BCE$, $BDA$, $AFC$ en $DFE$. Noem nu het snijpunt van $ME$ met de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$ $A'_1$. Nu volgt vrij snel dat $AA'_1$ evenwijdig is met $m$. Dus $A_1=A'_1$. Blijkbaar gaat $A_1E$ door $M$. Analoge bewijzen geven hetzelfde resultaat voor $B_1F$ en $C_1D$.
Conclusie:
$A_1E$, $B_1F$ en $C_1D$ zijn collineair.
$\Box$