BaMO 2000

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat voor alle $x,y\in\mathbb R$ geldt dat $f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y$.

Vraag 2

$ABC$ is een scherphoekige driehoek die niet gelijkbenig is. $M$ is het midden van $BC$, $X$ een willekeurig punt op $AM$. $Y$ is het voetpunt van de loodrechte uit $X$ op $BC$. $Z$ is een willekeurig punt op $XY$. $U$ en $V$ zijn de voetpunten van de loodrechten uit $Z$ op $AB$ en $AC$ respectievelijk. Toon aan dat de bissectrices van $\angle UZV$ en $\angle UXV$ parallel zijn.

Vraag 3

Hoeveel $1\times10\sqrt2$ rechthoeken kunnen uit een $50\times90$ rechthoek gesneden worden als je enkel parallel met de zijden mag snijden?

Vraag 4

Toon aan dat we voor iedere $n$ een verzameling $X$ kunnen vinden van $n$ verschillende gehele getallen verschillend van 1 zodat het gemiddelde van de elementen van iedere deelverzameling van $X$, een volkomen kwadraat of een hogere macht is.