functievergelijking

Schrijf $\left(f(0)\right)^2 = a$.

Voor $x=0$ is $f(f(y)) = a+y$. Stel hierin $y = -a$, dan is $f(f(-a)) = 0$.
Stel nu in de gegeven gelijkheid $x = f(-a)$, dan is $f(x) = f(f(-a)) = 0$, dus $y = f(xf(x)+f(y))-\left(f(x)\right)^2 = f(f(y))$.
Merk nu op dat $$\begin{aligned}\left(f(x)\right)^2 + y & = f(xf(x)+f(y)) = f(f(f(x))f(x)+f(y)) \\ & = \left(f(f(x))\right)^2+y = x^2+y,\end{aligned}$$waaruit volgt dat $\left(f(x)\right)^2 = x^2$. Dus $f(x)\in\{-x,x\}$, voor alle $x\in\mathbb{R}$. Dit impliceert natuurlijk dat $f(1) = 1$ of $f(1) = -1$.

Voor $f(1) = 1$ moet (vul $x=1$ in in de gegeven gelijkheid) $f(1+f(y)) = 1+y$. Maar $f(1+f(y)) = \pm(1+f(y))$. Dus is $1+y = 1+f(y)$ of $1+y = -1-f(y)$ (voor alle $y\in\mathbb{R}$), dus $f(y) = y$ of $f(y) = -2-y$. Enkel $f(y) = y$ voldoet aan de eis $\left(f(x)\right)^2 = x^2$, dus als $f(1) = 1$, is $f(x) = x$, voor alle $x\in\mathbb{R}$.
Analoog toont men aan dat voor $f(1) = -1$ er volgt dat $f(x) = -x$, voor alle $x\in\mathbb{R}$.

Enige oplossingen zijn dus $f(x) = x$ en $f(x) = -x$.