functievergelijking

Tags:

Opgave - BaMO 2000 vraag 1

Vind alle $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat voor alle $x,y\in\mathbb R$ geldt dat $f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y$ .

Oplossing inzenden

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Schrijf $\left(f(0)\right)^2 = a$ .

Voor $x=0$ is $f(f(y)) = a+y$ . Stel hierin $y = -a$ , dan is $f(f(-a)) = 0$ .
Stel nu in de gegeven gelijkheid $x = f(-a)$ , dan is $f(x) = f(f(-a)) = 0$ , dus $y = f(xf(x)+f(y))-\left(f(x)\right)^2 = f(f(y))$ .
Merk nu op dat

$\begin{aligned}\left(f(x)\right)^2 + y & = f(xf(x)+f(y)) = f(f(f(x))f(x)+f(y)) \\ & = \left(f(f(x))\right)^2+y = x^2+y,\end{aligned}$

waaruit volgt dat $\left(f(x)\right)^2 = x^2$ . Dus $f(x)\in\{-x,x\}$ , voor alle $x\in\mathbb{R}$ . Dit impliceert natuurlijk dat $f(1) = 1$ of $f(1) = -1$ .

Voor $f(1) = 1$ moet (vul $x=1$ in in de gegeven gelijkheid) $f(1+f(y)) = 1+y$ . Maar $f(1+f(y)) = \pm(1+f(y))$ . Dus is $1+y = 1+f(y)$ of $1+y = -1-f(y)$ (voor alle $y\in\mathbb{R}$ ), dus $f(y) = y$ of $f(y) = -2-y$ . Enkel $f(y) = y$ voldoet aan de eis $\left(f(x)\right)^2 = x^2$ , dus als $f(1) = 1$ , is $f(x) = x$ , voor alle $x\in\mathbb{R}$ .
Analoog toont men aan dat voor $f(1) = -1$ er volgt dat $f(x) = -x$ , voor alle $x\in\mathbb{R}$ .