BaMO 1997

Vraag 1 Opgelost!

Zij $O$ een inwendig punt van de convexe vierhoek $ABCD$ dat voldoet aan
$$OA^2+OB^2+OC^2+OD^2=2S(ABCD)$$
waar $S(ABCD)$ staat voor de oppervlakte van $ABCD$. Toon aan dat $ABCD$ een vierkant is met midden $O$.

Vraag 2

Zij $A=\{A_1,A_2,\ldots,A_k\}\ (k>1)$ een verzameling van deelverzamelingen van een verzameling $S$ met $|S|=n$, zodat voor alle $x,y\in S$, er een $A_i\in A$ is zodat $x\in A_1$ en $y\in A\backslash A_i$ of $x\in A\backslash A_i$ en $y\in A_i$. Toon aan dat $k\geq\log_2n$.

Vraag 3 Opgelost!

Drie cirkels $\Gamma,C_1,C_2$ zijn gegeven in het vlak. $C_1$ en $C_2$ raken $\Gamma$ inwendig in de punten $B$ en $C$ respetievelijk. $C_1$ en $C_2$ raken elkaar uitwendig in $D$. Zij $A$ één van de punten waar de gemeenschappelijke raaklijn van $C_1$ en $C_2$ $\Gamma$ snijdt. Stel $M$ het tweede snijpunt van $AB$ met $C_1$ en $N$ het tweede snijpunt van $AC$ met $C_2$. Overigens, noteer met $K$ en $L$ het tweede snijpunt van $BC$ met $C_1$ en $C_2$ respectievelijk. Toon aan dat $AD,MK,NL$ concurrent zijn.

Vraag 4 Opgelost!

Vind alle functies $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ zodat $f(xf(x)+f(y))=(f(x))^2+y$ voor alle $x,y\in\mathbb R$.