Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Balkanlanden › BaMO › 1997 › concurrent

concurrent

Tags:

Opgave - BaMO 1997 vraag 3

Drie cirkels $\Gamma,C_1,C_2$ zijn gegeven in het vlak. $C_1$ en $C_2$ raken $\Gamma$ inwendig in de punten $B$ en $C$ respetievelijk. $C_1$ en $C_2$ raken elkaar uitwendig in $D$. Zij $A$ één van de punten waar de gemeenschappelijke raaklijn van $C_1$ en $C_2$ $\Gamma$ snijdt. Stel $M$ het tweede snijpunt van $AB$ met $C_1$ en $N$ het tweede snijpunt van $AC$ met $C_2$. Overigens, noteer met $K$ en $L$ het tweede snijpunt van $BC$ met $C_1$ en $C_2$ respectievelijk. Toon aan dat $AD,MK,NL$ concurrent zijn.

Oplossing

Ingediend door Manu

Noem van $C_1$, $C_2$ en $\Gamma$ de middelpunten respectievelijk $O_1$, $O_2$ en $O$, en de stralen respectievelijk $r_1$, $r_2$ en $R$.
Noem $h_1$ en $h_2$ de unieke homothetieën zodanig dat $h_1(C_1) = \Gamma$ en $h_2(C_2) = \Gamma$.
Dan hebben $h_1$ en $h_2$ een factor $\frac{R}{r_1}$ en $\frac{R}{r_2}$ respectievelijk.
Verder is
$h_1(O_1) = O = h_2(O_2)$;
$h_1(M) = A = h_2(N)$;
$h_1(B) = B = h_2(L)$;
$h_1(K) = C = h_2(C)$.

Stel $S = MK \cap LN$. Dan is dus $MS \parallel AN$ en $MA \parallel SN$ en dus vormt $MSNA$ een parallellogram.
Stel $a= d(M,AD)$ en $b = d(N,AD)$.
Het te bewijzen ($AD$, $MK$ en $NL$ concurrent) is dus equivalent met $S \in AD \Leftrightarrow a=b$.

We bepalen eerst $d = d(O,DA)$.
Noem $V$ het voetpunt van de loodlijn vanuit $O$ op $O_1O_2$.
Zonder verlies van algemeenheid veronderstellen we $V$ tussen $D$ en $O_2$ (dit zal blijken neer te komen op $r_2 \geq r_1$).
Dan is $d = d(V,DA) = |VD| = |O_2D|-|VO_2| = r_2 - |VO_2|$
We bepalen nu $|VO_2|$.
Vooreerst is $|O_1O_2| = r_1 + r_2$ en $|OO_2| = R-r_2$ en $|OO_1| = R-r_1$
Wegens Pythagoras is $|VO|^2 = |OO_1|^2-|VO_1|^2 =|OO_2|^2-|VO_2|^2$
$\Rightarrow (R-r_1)^2-(r_1+r_2-|VO_2|)^2 = (R-r_2)^2-|VO_2|^2$
$\Rightarrow |VO_2| = r_2- R \frac{r_2-r_1}{r_2+r_1}$
en dus is $d = R \frac{r_2-r_1}{r_2+r_1}$.

Verder is er tussen $a$ en $b$ via $d$ een verband als volgt:
$ a = r_1 + d(O_1, h_1^{-1}(DA)) = r_1 + d(h_1^{-1}(O), h_1^{-1}(DA)) $
$= r_1 + \frac{r_1}{R} d(O,DA) = r_1 ( 1 + \frac{d}{R}) = r_1 ( 1+ \frac{r_2-r_1}{r_2+r_1}) = \frac{2 r_1 r_2}{r_2+r_1}$.
Analoog is
$ b = r_2 - d(O_2, h_2^{-1}(DA)) = r_2 - d(h_2^{-1}(O), h_2^{-1}(DA)) $
$= r_2 - \frac{r_2}{R} d(O,DA) = r_2 ( 1 - \frac{d}{R}) = r_2 ( 1- \frac{r_2-r_1}{r_2+r_1}) = \frac{2 r_1 r_2}{r_2+r_1}$.
En dus is $a = b$.