vierkant

1) Bepalen oppervlakte van driehoek $OAB$
Laat een hoogtelijn neer vanuit $O$ op $AB$ tot in het punt $E$.
De driehoek $OAE$ heeft als oppervlakte $s_{OAE} = \frac{\left | OE \right | \left | EA \right |}{2} = \frac{\left | OA \right | \sin \angle OAE \left | OA \right | \cos \angle OAE}{2}$
$= \frac{{\left | OA \right |}^2 \sin 2 \angle OAE }{4} = \pm \frac{{\left | OA \right |}^2 \sin 2 \angle OAB }{4}$
Het teken in de laatste stap hangt er van af of $E$ op het lijnstuk $AB$ valt of op het verlengde ervan.
In elk geval geldt altijd dat de oppervlakte van driehoek $OAB$ gelijk is aan
$s_{OAB} = \frac{{\left | OA \right |}^2 \sin 2 \angle OAB + {\left | OB \right |}^2 \sin 2 \angle ABO }{4}$.

2) Bepalen oppervlakte van willekeurige vierhoek $ABCD$
De vierhoek bestaat uit 4 van die driehoeken tussen de diagonalen.
Noem de totale oppervlakte van het vierkant $s$. Dan is
$2s=
{\left | OA \right |}^2 \frac{\sin 2 \angle OAB + \sin 2 \angle DAO}{2}
+ {\left | OB \right |}^2 \frac{\sin 2 \angle OBC + \sin 2 \angle ABO}{2}$
$
+ {\left | OC \right |}^2 \frac{\sin 2 \angle OCD + \sin 2 \angle BCO}{2}
+ {\left | OD \right |}^2 \frac{\sin 2 \angle ODA + \sin 2 \angle CDO}{2}$

Voor iedere vierhoek geldt dat de som van deze 8 hoeken $360^{\circ}$ is en iedere lengte positief is, omdat een sinuswaarde maximaal $1$ is en er gegeven is dat $2s=|OA|^2+|OB|^2+|OC|^2+|OD|^2.$
Dit betekent dat $\sin 2 \angle OAB + \sin 2 \angle DAO}{2}$ en de analoge vormen allen $1$ moeten zijn, wat betekent dat we $8$ dubbele hoeken sommeren die samen $720$ graden zijn en $\equiv 90 \pmod{180}$ zijn, wat betekent dat alle hoeken $45$ graden apart zijn, de hoeken van de vierhoek zijn dan $90^{\circ}$ en $O$ het midden van het vierkant, zoals gevraagd te bewijzen.