BaMO 1988

Vraag 1

$ABC$ is een driehoek met oppervlakte 1, en $AH$ is een hoogte van de driehoek, $M$ het midden van $BC$ en $K$ het snijpunt van de bissectrice van $A$ en $BC$. De oppervlakte van de driehoek $AHM$ is $1/4$ en de oppervlakte van driehoek $AKM$ is $\displaystyle{1-\frac{\sqrt3}2}$. Vind de hoeken van de driehoek.

Vraag 2

Vind alle reële veeltermen $p(x,y)$ zodanig dat $p(x,y)p(u,v)=p(xu+yv,xv+yu)$ voor alle $x,y,u,v\in\mathbb R$.

Vraag 3

De som van de kwadraten van de ribben van een viervlak is $S$. Bewijs dat het viervlak tussen twee parallelle vlakken kan geplaatst worden die $\displaystyle{\sqrt{\frac S{12}}}$ van elkaar liggen.

Vraag 4 Opgelost!

$(x_n)$ is de rij $51,53,57,65,\ldots,2^n+49,\ldots$. Vind alle $n$ zodanig dat $x_n$ en $x_{n+1}$ elk het product zijn van precies twee verschillende priemgetallen met hetzelfde verschil.