product van 2 priemen

$n=0$ geeft geen oplossing, dus de priemdelers zijn allemaal oneven.
Stel $x_n=pq$ en $x_{n+1}=rs$ met $q-p=s-r$ en $q\geq p$. Dus $s\geq r> p$.
Omdat $49\equiv1\pmod3$ en $2^n\equiv\pm1\pmod3$ is één van $x_n$ en $x_{n+1}$ deelbaar door $3$.
Dat moet dan $x_n$ zijn omdat $s>p$ en $r>p$. Dus $p=3$.
Uit de definitie van $x_n$ volgt dat $rs-3q=2^n$.
Omdat $0=(r-s)^2-(q-3)^2=r^2+s^2-q^2-9-2rs+6q$ hebben we dat $r^2+s^2-q^2-9=2rs-6q=2^{n+1}$.
Dus $(r-3)(r+3)+(s-q)(s+q)=2^{n+1}$.
Uit $q-3=s-r$ volgt dat $r-3=s-q$. Dus $(r-3)(3+q+r+s)=2^{n+1}$, of dus, omdat $q+r=3+s$ hebben we $(r-3)(3+s)=2^n$.
Dan is $r-3=2^a$ en $s+3=2^b$ met $b>a>1$ aangezien $s>r>p=3$. En $a+b=n$.
Stel nu $2^a=c$ en $2^b=d$.
Uit $q=3+s-r$ volgt nu dat $q=d-c-3$.
Uit $x_n=3q$ en $x_n=49+cd$ hebben we $49+cd=3d-3c-9$ of dus $(d+3)(c-3)=-67$. Dat kan alleen voor $d=64$ en $c=2$.
Nu controleren we nog dat $q,r,s$ priem zijn in dit geval: $q=d-c-3=59$, $r=c+3=5$, $s=d-3=61$, wat priemgetallen zijn.
Dus $a=1$ en $b=6$, zodat $n=7$ de enige oplossing is.