BaMO 1987

Vraag 1 Opgelost!

We definiëren de functie $f\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ als $f(0)=1/2$ en voor een bepaalde reële $a$ hebben we dat $f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$ voor alle $x,y\in\mathbb R$. Bewijs dat $f$ constant is.

Vraag 2

Vind alle reële getallen $x\geq y\geq1$ zodat $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}$ en $\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$ opeenvolgende natuurlijke getallen zijn.

Vraag 3

$ABC$ is een driehoek met $BC=1$. Als
$$\displaystyle{\frac{\sin^{23}\frac A2}{\cos^{48}\frac A2}=\frac{\sin^{23}\frac B2}{\cos^{48}\frac B2}},$$
vind dan $AC$.

Vraag 4

Twee cirkels hebben straal 1 en $\sqrt2$ en hun hun middens liggen op afstand 2 van elkaar. $X$ is één van de punten op beide cirkels. $M$ ligt op de kleinere cirkel, $Y$ ligt op de grotere cirkel, en $M$ is het midden van $XY$. Vind de afstand $XY$.