functievergelijking

We bewijzen dat enkel de functie $f \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} x \mapsto \frac{1}{2}$ voldoet aan de gegevens. Stel eerst $x = y = 0$ dan volgt makkelijk $f(a) = \frac{1}{2}$. Neem nu $y = 0$. Dan geldt
$$\begin{eqnarray*}
f(x) & =& f(x) f(a) + f(0) f(a-x) \\
& = & \frac{1}{2} \left( f(x) + f(a-x) \right) .
\end{eqnarray*}$$
Dus ook $\frac{1}{2} f(x) = \frac{1}{2} f(a-x)$, waaruit volgt dat $f(x) = f(a-x)$. Stel nu $x = a - y$. Dan is
$$\begin{eqnarray*}
\frac{1}{2} & = & f(a) \\
& = & (f(x))^{2} + (f(a-x))^{2} \\
& = & (f(x))^{2} + (f(x))^{2} \\
& = & 2 \cdot (f(x))^{2}.
\end{eqnarray*}$$
Hieruit volgt $(f(x))^{2} = \frac{1}{4}$. Dus $f(x) \in \left\{ -\frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right\}$ voor alle $ x \in \mathbb{R} $.
In principe zou $f$ dus ook nog de waarde $-\frac{1}{2}$ kunnen aannemen, en moeten we nu nog aantonen dat effectief $f(x) = \frac{1}{2}$ voor alle reële $ x $.
Dat kan bijvoorbeeld als volgt. Stel $ x = y $ in de gegeven vergelijking. Dan is
$$\begin{eqnarray*}
f(2x) & =& 2 \cdot f(x) f(a-x) \\
& = & 2 \cdot (f(x))^{2}.
\end{eqnarray*}$$
Stellen we $x \equiv \frac{x}{2}$ dan bekomen we voor alle $x \in \mathbb{R}$ dat
$$\begin{eqnarray*} f(x) & = & 2 \cdot \left(f\left(\frac{x}{2}\right)\right)^{2} \\
& \geq & 0 .
\end{eqnarray*}$$
Nu moet $f(x) = \frac{1}{2}$ voor alle $ x $ en dus voldoet enkel de functie $$f \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} x \mapsto \frac{1}{2}.$$
Bijgevolg is $ f $ een constante functie, wat bewezen moest worden. $\blacksquare$

Niet zo moeilijk :).