BaMO 1986

Vraag 1

Een rechte door het midden van de ingeschreven cirkel snijdt de omgeschreven cirkel en ingeschreven cirkel in de punten $A,B,C,D$ (in die volgorde). Toon aan dat
$$AB\cdot CD\geq\frac{BC^2}4.$$
Wanneer treedt gelijkheid op?

Vraag 2

Op iedere ribbe van een viervlak wordt een punt gekozen zodanig dat het product van de afstanden van het punt tot iedere kant van de ribbe gelijk is voor alle zes de punten. Toon aan dat de zes punten op een sfeer liggen.

Vraag 3 Opgelost!

$r,s$ zijn gehele getallen verschillend van nul, en $k$ is een positief reëel getal. De rij $(a_n)$ is gedefinieerd door $\displaystyle{a_1=r,\ a_2=s,\ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2+k}{a_n}}$. Toon aan dat alle termen van de rij gehele getallen zijn als $\displaystyle{\frac{r^2+s^2+k}{rs}}$ een geheel getal is.

Vraag 4

Een punt $P$ ligt in de driehoek $ABC$ en $\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCA$ hebben allemaal dezelfde oppervlakte en omtrek. Toon aan dat de driehoek gelijkzijdig is. Als $P$ buiten de driehoek ligt, toon dan aan dat de driehoek rechthoekig is.