gehele rij

Noem $\alpha = \frac{r^2 + s^2+ k}{rs}$. Merk op dat $a_{n + 2} a_n - a_{n + 1}^2 = k = a_{n + 3} a_{n + 1} - a_{n + 2}^2$ voor alle $n$. Bijgevolg geldt $\frac{a_n + a_{n + 2}}{a_{n + 1}} = \frac{a_{n + 1} + a_{n + 3}}{a_{n + 2}}$ voor alle $n$. Daaruit volgt dat $\frac{a_n + a_{n + 2}}{a_{n + 1}}$ niet afhangt van $n$. Evalueren voor $n = 1$ geeft de waarde $\frac{r + \frac{s^2 + k}{r}}{s} = \alpha$ zodat $\frac{a_n + a_{n + 2}}{a_{n +1}} = \alpha$ of $a_{n + 2} = \alpha a_{n + 1} - a_n$ voor alle $n$. Als $\alpha$ geheel is, dan zijn alle termen van de rij duidelijk gehele getallen. Veronderstel nu dat $\alpha$ niet geheel is en dat alle termen toch geheel zijn. Schrijf $\alpha = \frac{p}{q}$ met $p$ en $q$ onderling ondeelbare gehele getallen en $q > 1$. Dan is $a_j$ deelbaar door $q$ voor elke $j \geq 2$ (evident). Inductie geeft dat $q^n$ een deler is van $a_{n + 1}$ voor elke $n$. Als inductiehypothese kan je bijvoorbeeld nemen dat $a_{j}$ deelbaar is door $q^n$ voor $j \geq n + 1$: dit is lichtjes subtiel. Dan volgt uit $a_{n + 3} = \frac{p}{q} a_{n + 2} - a_{n + 1}$ dat $a_{n + 2}$ deelbaar is door $q^{n + 1}$, uit $a_{n + 4} = \frac{p}{q} a_{n + 3} - a_{n + 2}$ volgt dat $a_{n + 3}$ deelbaar is door $q^{n + 1}$, etcetera. Dat is zo ongeveer het inductiebewijsje. We besluiten dat $q^{2n}$ een deler is van $a_{n + 2} a_n - a_{n + 1}^2$ voor elke $n$. Maar $a_{n + 2} a_n - a_{n + 1}^2 = k$ voor elke $n$, dus dat is een contradictie.