BaMO 1985

Vraag 1

$ABC$ is een driehoek met $O$ midden van de omgeschreven cirkel, $D$ is het midden van $AB$ en $E$ het zwaartepunt van $\triangle ACD$. Bewijs dat $OE$ loodrecht staat op $CD$ als $AB=AC$.

Vraag 2

We hebben vier reële getallen $\displaystyle{w,x,y,z\in\mathbb R\left]\frac{-\pi}2,\frac\pi2\right[}$ en $\sin w+\sin x+\sin y+\sin z= 1,\cos2w+\cos2x+\cos2y+\cos2z\geq\frac{10}3$. Bewijs dat $w,x,y,z$ positief zijn en niet groter dan $\frac\pi6$.

Vraag 3

Kunnen we een natuurlijk getal $N$ vinden zodanig dat als $a$ en $b$ twee gehele getallen zijn die als som $N$ hebben, dat we dan precies één van $a,b$ kunnen schrijven in de vorm $19m+85n$ voor natuurlijke getallen $m,n$.

Vraag 4 Opgelost!

Er bevinden zich 1985 mensen in een zaal, en iedere aanwezige spreekt maximum 5 verschillende talen. Als je willekeurig drie mensen uit de zaal neemt, zijn er tenminste twee die een taal gemeenschappelijk hebben. Bewijs dat er een taal is die door minstens 200 mensen gesproken wordt in de zaal.