mensen in een zaal
Opgave - BaMO 1985 vraag 4
Er bevinden zich 1985 mensen in een zaal, en iedere aanwezige spreekt maximum 5 verschillende talen. Als je willekeurig drie mensen uit de zaal neemt, zijn er tenminste twee die een taal gemeenschappelijk hebben. Bewijs dat er een taal is die door minstens 200 mensen gesproken wordt in de zaal.
- login om te reageren
Oplossing
Stel dat er in de volledige zaal geen $2$ mensen zijn die geen gemeenschappelijke taal spreken, dan bekijken we het vanuit het standpunt van $1$ persoon. Die persoon spreekt maximum $5$ talen, dus elk van de $1984$ andere mensen spreekt een van die $5$ talen en volgens het duivenhokprincipe is er dus zeker een taal met $200$ sprekers.
Stel nu dat er wel $2$ mensen zijn die geen taal gemeenschappelijk hebben, dan bekijken we het vanuit het standpunt van die $2$ personen. Samen spreken ze maximaal $10$ talen en uit het gegeven blijkt dat elk van de $1983$ andere mensen dan een van die $10$ talen moet spreken. Volgens het duivenhokprincipe, is er dus zeker een taal die door $199$ van die andere mensen gesproken wordt. Bovendien is er een van die $2$ vast gekozen mensen, die ook die taal zal spreken. Dus is er zeker een taal die door $200$ mensen wordt gesproken.