BaMO 1984

Vraag 1 Opgelost!

Zij $x_1,x_2,\ldots,x_n$ reële getallen met som 1. Bewijs dat
$$\frac{x_1}{2-x_1}+\frac{x_2}{2-x_2}+\cdots+\frac{x_n}{2-x_n}\geq\frac n{2n-1}.$$

Vraag 2 Opgelost!

$ABCD$ is een cyclische vierhoek. $A'$ is het hoogtepunt van $\triangle BCD$, $B'$ het hoogtepunt van $\triangle ACD$, $C'$ het hoogtepunt van $\triangle ABD$ en $D'$ is het hoogtepunt van $\triangle ABC$. Toon aan dat $ABCD$ en $A'B'C'D'$ congruent zijn.

Vraag 3

Bewijs dat, gegeven een bepaald natuurlijk getal $n$, we altijd een getal $m>n$ kunnen vinden zodat de decimale voorstelling van $5^m$ bekomen kan worden via die van $5^n$ door aan de linkerkant cijfers bij te voegen.

Vraag 4

Gegeven positieve reële getallen $a,b,c$, vind alle reële oplossingen $(x,y,z)$ van de vergelijkingen
$$\left\{\begin{array}lax+by=(x-y)^2\\by+cz=(y-z)^2\\cz+ax=(z-x)^2. \end{array}$$