congruente vierhoeken
Opgave - BaMO 1984 vraag 2
$ABCD$ is een cyclische vierhoek. $A'$ is het hoogtepunt van $\triangle BCD$, $B'$ het hoogtepunt van $\triangle ACD$, $C'$ het hoogtepunt van $\triangle ABD$ en $D'$ is het hoogtepunt van $\triangle ABC$. Toon aan dat $ABCD$ en $A'B'C'D'$ congruent zijn.
- login om te reageren
Oplossing
Voor benoemingen van punten, zie tekening.
We zien eenvoudig dat $$\angle D'BA' = \angle ABC - \angle ABD' - \angle CBA' $$
$$= \angle ABC - 90^{\circ} + \angle CAB - 90^{\circ} + \angle DCB$$
$$ = \angle ABC - 180^{\circ} + 180^{\circ} - \angle DBC = \angle ABD$$
$$= \angle LBK = \angle LCK = \angle D'CA'$$
Dus volgt het dat $A'D'BC$ een koordenvierhoek is.
Nu nog een laatste observatie: $$\angle DA'D' = \angle DA'K + \angle KA'D' $$
$$= 90^{\circ} - \angle A'CB + \angle CBD' = 90^{\circ} - \angle A'CJ - \angle JCB + \angle CBD' $$
$$= (90^{\circ}- \angle JCB) + (\angle CBD' - \angle KBJ)$$
$$= \angle CAD' + \angle DAC = \angle DAD'$$
Dus, vermits $AD'$ evenwijdig is aan $A'D$, en dankzij het bovenstaande, is $DAD'A'$ een parallellogram.
Dus is $D'A'$ evenwijdig en even lang als $DA$. Analoog voor $CD$ en $C'D'$, $BC$ en $B'C'$, $AB$ en $A'B'$.
$$\mathbb{QED}$$
Andere oplossing:
zijn $A''$, $B''$, $C''$ en $D''$ de zwaartepunten van $BCD$, $CDA$, $DAB$ en $ABC$. We bewijzen dat $A''B''C''D''$ gelijkvormig is met $ABCD$, en dat de verhouding van de lengten van de zijden van deze vierhoeken $1/3$ is. Neem bijvoorbeeld de punten $C$ en $D$ en zij $M$ het midden van $AB$. Dan deelt $D''$ het lijnstuk $MC$ in de verhouding $12$ en $C''$ deelt het lijnstuk $MD$ in dezelfde verhouding. Dus $C''D'' = CD/3$. Analoog voor alle andere afstanden, dus is de gelijkvormigheid bewezen. Nu beeldt de homothetie met middelpunt $O$ (centrum van de cirkel) en factor 3 $A''$, $B''$, $C''$ en $D''$ af op $A'$, $B'$, $C'$ en $D'$ respectievelijk. Daaruit volgt het resultaat onmiddellijk.