ongelijkheid
Opgave - BaMO 1984 vraag 1
Zij $x_1,x_2,\ldots,x_n$ reële getallen met som 1. Bewijs dat
$$\frac{x_1}{2-x_1}+\frac{x_2}{2-x_2}+\cdots+\frac{x_n}{2-x_n}\geq\frac n{2n-1}.$$
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
$f(x)=\frac{x}{2-x}$ is convex op $]-\infty,2[$, dus ook op $[0,1]$, dus wegens Jensen is $$\sum_{cyc}\frac{x_1}{2-x_1}\ge n\cdot f\left(\frac1n\right) = \frac{n}{2n-1}.$$
Volgens Cauchy in Engel form (I love it.) is $$\sum \frac{x_i}{2-x_i} \geq \frac{\left(\sum x_i\right)^2}{\sum (2x_i-x_i^2)} = \frac{1}{2-\sum x_i^2}$$Bijgevolg is het voldoende te bewijzen dat $$\frac{1}{2-\sum x_i^2} \geq \frac{n}{2n-1}\ \Longleftrightarrow\ 2n-1 \geq 2n-n\sum x_i^2\ \Longleftrightarrow\ n\sum x_i^2 \geq 1,$$wat meteen volgt uit AM-QM op $x_i$.