IMC 2001

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

In een $n*n$matrix zijn alle getallen van $1$ tot $n^2$ in volgorde geplaatst van links naar rechts rij per rij.
We nemen de som van $n$ elementen die in $n$ verschillende rijen en verschillende kolommen liggen. Wat zijn de mogelijke waarden voor die som?

Vraag 2

Zij $r,s,t$ natuurlijke getallen die relatief priem zijn met $a,b \in G$, $G$ een commutatieve multiplicatieve groep met eenheidselement $e$ en $a^r=b^s=(ab)^t=e$.
(a) Bewijs dat $a=b=e$.
(b) Geldt hetzelfde voor een nietcommutatieve groep $G$?

Vraag 3

Vind $ \lim_{t\rightarrow 1^-}(1-t)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{1+t^n} $

Vraag 5

Zij A een $n*n$ complexe matrix zodat geldt dat A geen complex veelvoud is van de eenheidsmatrix.
Bewijs dat A dan gelijkvormig is met een matrix met maximum 1 nietnul element op de hoofddiagonaal.