triv.som van entries matrix
Opgave - IMC 2001 dag 1 vraag 1
In een $n*n$matrix zijn alle getallen van $1$ tot $n^2$ in volgorde geplaatst van links naar rechts rij per rij.
We nemen de som van $n$ elementen die in $n$ verschillende rijen en verschillende kolommen liggen. Wat zijn de mogelijke waarden voor die som?
- login om te reageren
Oplossing
Het getal op de $i^{de}$ rij en de $j^{de}$ kolom is gelijk aan $(i-1)n+j.$ Met $j,n$ natuurlijke getallen $>0$ en $\le n.$
Aangezien elke waarde van j eenmaal voorkomt, is de som van alle mogelijke j's $ \sum_{j=1}^n j= \frac{n(n+1)}{2}$.
Ook elke waarde van i komt eenmaal voor, en dus is de som van alle mogelijke termen $(i-1)n$ gelijk aan $\sum_{i=1}^{n} (i-1)n = \frac{(n-1)n^2}{2}= \frac{(n-1)n^2}{2}$
De totale som $ \sum_{}^{} a_{ij} = \sum_{j=1}^n j+ \sum_{i=1}^{n} (i-1)n= \frac{(n^2+1)n}{2}$. Dit is tevens ook het antwoord.