reeks 2 2012

Dag 1

Vraag 1

$n \in \mathbb N$, bepaal alle getallen $x$ waarvoor geldt dat

$$0=1+x+\frac{x(x+1)}{2!}+\cdots+ \frac{x(x+1)\cdots (x+n)}{(n+1)!}$$

Vraag 2

Zij $I$ een interval en $f I \to \mathbb R$ een convexe functie.
D.w.z. $\forall a,b \in I$ en $\forall \lambda \in [0,1]$ geldt $$f(\lambda a+(1- \lambda)b)) \le \lambda f(a)+ (1-\lambda)f(b).$$

Bewijs dan dat $\forall a,b,c \in I$ met $a \le b \le c$ geldt dat $$f(b)+f(a+c-b) \le f(a)+f(c).$$

Vraag 3 Opgelost!

$(a)$ Zij $n>1$ een natuurlijk getal en $a \in \mathbb Z$ zodat $n|a^n -1.$
Bewijs dat de kleinste priemdeler van $n$ een deler van $a-1$ is.
$(b)$ Vind alle natuurlijke $n$ $n^2|3^n+1$

Vraag 4

hint: Als $(x_n)_{ n\ge 1}$ een convergerende rij van getallen uit $\mathbb{R}$ is met limiet $L$, is ook $lim_{n \to \infty} \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=L.$
**
$(a)$ Beschouw de rij $(x_n)_{ n\ge 1}$ gedefinieerd door $x_1=1$ en $x_{n+1}=\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_n}$ voor alle $n \ge 1.$
Bepaal de limiet van de rij $( \frac{ x_n}n)_{n \ge 1)$ als ze bestaat.
$(b)$ $(y_n)_n$ is een rij zodat $2012y_1 =1$ en $y_{n+1}=y_n-y_n^2$ voor alle $n \ge 1.$

Bepaal de limiet van de rij $( n y_n)_{n \ge 1)$ als ze bestaat.

Vraag 5

$n \in \mathbb N$ en $p$ is een priemgetal dat $n$ niet deelt.
Beschouw de groep $S_n$ van alle permutaties van $\{1,2,3 \cdots n\}$.
Stel dat $G$ een deelgroep is van $S_n$ met orde een macht van $p$,
bewijs dat G een vast punt heeft (dat er een $1\le k\le n$ bestaat zodat $\sigma(k)=k$ $\forall \sigma \in G$).