EGMO 2022

Dag 1

Vraag 1

Laat $ABC$ een scherphoekige driehoek zijn waarin $|BC|$<$|AB|$ en $|BC|$<$|CA|$. Laat punt $P$ op het segment $AB$ liggen en punt $Q$ op het segment $AC$ zodat $P \neq B$, $Q \neq C$, en $|BQ| = |BC| = |CP|$. Laat $T$ het middelpunt zijn van de omgeschreven cirkel van driehoek $APQ$, $H$ het hoogtepunt van driehoek $ABC$, en $S$ het snijpunt van de lijnen $BQ$ en $CP$. Bewijs dat $T$, $H$, en $S$ collineair zijn.

Vraag 2

Laat $\mathbb{N}={1, 2, 3, \dots}$ de verzameling zijn van alle (strikt) positieve gehele getallen. Bepaal alle functies $f \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ zodat voor alle (strikt) positieve gehele getallen $a$ en $b$ aan de volgende twee voorwaarden wordt voldaan:
(1) $f(ab) = f(a)f(b)$, en
(2) van de getallen $f(a)$, $f(b)$ en $f(a + b)$ zijn er tenminste twee hetzelfde.

Vraag 3

Een oneindige rij van (strikt) positieve gehele getallen $a_1, a_2, \dots$ wordt "mooi" genoemd als aan de volgende twee voorwaarden wordt voldaan:

(1) $a_1$ is een kwadraat van een geheel getal, en
(2) voor elk geheel getal $n \ge 2$ is $a_n$ het kleinste (strikt) positieve gehele getal zodat

$$na_1 + (n-1)a_2 + \dots + 2a_{n-1} + a_n$$
​
een kwadraat is van een geheel getal.

Bewijs dat voor elk "mooi" rijtje $a_1, a_2, \dots$ er een (strikt) positief geheel getal $k$ bestaat zodat $a_n = a_k$ voor alle gehele getallen $n \ge k$.

Dag 2

Vraag 1

Gegeven een positief geheel getal $n \ge 2$, bepaal de grootste positieve gehele getal $N$ waarvoor er $N+1$ reële getallen $a_0, a_1, \dots, a_N$ bestaan zodat

$a_0+a_1 = -\frac{1}{n},$ en
$(a_k+a_{k-1})(a_k+a_{k+1})=a_{k-1}-a_{k+1}$ voor $1 \le k \le N-1$.

Vraag 2

Voor alle positieve gehele getallen $n$ en $k$ zij $f(n, 2k)$ het aantal manieren waarop een $n \times 2k$ bord volledig kan worden bedekt door $nk$ dominostenen van grootte $2 \times 1$. (Bijvoorbeeld, $f(2, 2)=2$ en $f(3, 2)=3$.) Vind alle positieve gehele getallen $n$ zodanig dat voor elk positief geheel getal $k$, het aantal $f(n, 2k)$ oneven is.

Vraag 3

Laat $ABCD$ een cyclische vierhoek zijn met middelpunt $O$. Laat de inwendige bissectrices bij $A$ en $B$ samenkomen in $X$, die bij $B$ en $C$ in $Y$, die bij $C$ en $D$ in $Z$, en die bij $D$ en $A$ in $W$. Verder, laat $AC$ en $BD$ elkaar snijden in $P$. Stel dat de punten $X$, $Y$, $Z$, $W$, $O$ en $P$ onderscheiden zijn.

Bewijs dat $O$, $X$, $Y$, $Z$, $W$ op dezelfde cirkel liggen dan en slechts dan als $P$, $X$, $Y$, $Z$ en $W$ op dezelfde cirkel liggen.