EGMO 2014

Dag 1

Vraag 1

Bepaal alle reële getallen t zodat voor elke $a, b, c$ die de lengtes van de zijden van een
driehoek zijn, ook $a^2 + bct, b^2 + cat, c^2 + abt$ de lengtes van de zijden van een driehoek zijn.

Vraag 2

Punten D en E liggen in het inwendige van respectievelijk zijden AB en AC van een
driehoek ABC, zodat $|DB| = |BC| = |CE|$. De lijnen CD en BE snijden in F. Bewijs dat de
volgende drie punten op een lijn liggen: het middelpunt I van de ingeschreven cirkel van driehoek $ABC$, het hoogtepunt H van driehoek DEF en het midden M van de boog BAC (de boog BC waar
A ook op ligt) van de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$.

Vraag 3

Voor een positief geheel getal $m$ noemen we $d(m)$ het aantal positieve delers van m
en $\Omega(m)$ het aantal verschillende priemdelers van $m$. Zij $k$ een positief geheel getal. Bewijs dat er
oneindig veel positieve gehele getallen n bestaan zodat $\Omega(n) = k$ en $d(n)$ geen deler is van $ d(a^2 + b^2)$
voor alle positieve gehele getallen $a$ en $b$ met $a + b = n.$

Dag 2

Vraag 1

Bepaal alle gehele getallen $n \ge 2 $ waarvoor er gehele getallen
$x_1, x_2,\cdots,x_{n-1}$ bestaan
met de volgende eigenschap: als $0 < i < n, 0 < j < n, i \not= j$ en $n$ is een deler van $2i + j$, dan is
$x_i < x_j$ .

Vraag 2

Zij $n$ een positief geheel getal.
We hebben $n$ dozen met in elke doos een niet-negatief aantal kiezelstenen.
Bij elke zet mogen we twee kiezelstenen pakken uit een doos die we zelf kiezen,
één kiezelsteen weggooien en de de andere kiezelsteen in een andere zelfgekozen doos stoppen.

Een beginverdeling van kiezelstenen over de dozen heet oplosbaar als het mogelijk is om in een eindig aantal zetten (eventueel nul zetten) een situatie te bereiken waarin geen enkele doos leeg is.
Bepaal alle beginverdelingen die niet oplosbaar zijn, maar die wel oplosbaar worden als je aan een willekeurige doos een kiezelsteen toevoegt.

Vraag 3

Bepaal alle functies $f \colon \mathbb R \to \mathbb R$ die voldoen aan
$f( y^2 + 2xf(y) + f(x)^2 )
= (y + f(x))(x + f(y))$
voor alle reële $x$ en $y$.