IMOSL 1989

Dag 1

Vraag 1

$ABC$ is een driehoek, de bissectrice van de hoek $ A$ snijdt de omgeschreven cirkel van $ ABC$ in $ A_1$, punten $ B_1$ en $ C_1$ worden analoog geconstrueerd.
$ AA_1$ snijdt de uitwendige bissectrices van $ B$ en $ C$ in $ A_0$ en analoog.Bewijs dat $ [A_0B_0C_0] =2 [ AC_1BA_1CB_1 ] \geq 4[ ABC].$

Vraag 2

$n,k \in \mathbb{N}$ en we beschouwen een set $S$ van $n$ punten, waarvan er geen $3$ op $1$ rechte liggen.
$\forall$ punten $P$ zijn er max. $k$ punten op een zelfde afstand van $P.$
Bewijs dat $k<0.5+\sqrt{2n}$

Vraag 3

Bewijs dat we de verzameling $\{1,2\cdots, 1989\}$ kunnen verdelen in $117$ verzamelingen van $17$ elementen zodat iedere deelverzameling een gelijke som van de elementen geeft.

Vraag 4

We nemen een permutatie $\{x_1,x_2,\cdots,x_{2n}\}$ van $ \{1,2,\ldots, 2n\} $en kijken of er een $i$ tussen $1$ en $2n-1$ bestaat zodat $|x_{i+1}-x_i|=n.$
Bewijs dat de kans groter is dan de helft dat er zo'n $i$ bestaat.