IMO 2019
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Laat $\mathbb{Z}$ de verzameling van gehele getallen zijn. Bepaal alle functies $f\colon \mathbb{Z}
\to \mathbb{Z}$ zodanig dat
\[
f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b))
\]
voor alle gehele getallen $a$ en $b$.
Vraag 2
In driehoek $ABC$ ligt punt $A_1$ op lijnstuk $BC$ en punt $B_1$ op lijnstuk $AC$.
Laat $P$ en $Q$ punten op de lijnstukken $AA_1$ respectievelijk $BB_1$ zijn zodanig dat $PQ$ evenwijdig is met $AB$. Zij $P_1$ een punt op lijn $PB_1$ zodanig dat $B_1$ (strikt) tussen $P$ en
$P_1$ ligt en $\angle{PP_1C}=\angle{BAC}$. Analoog, zij $Q_1$ een punt op lijn $QA_1$ zodanig dat $A_1$ (strikt) tussen $Q$ en $Q_1$ ligt en $\angle{CQ_1Q}=\angle{CBA}$.
Bewijs dat de punten $P$, $Q$, $P_1$ en $Q_1$ op een cirkel liggen.
Vraag 3
Een sociaalnetwerksite heeft $2019$ gebruikers van wie sommige paren vrienden zijn.
Als gebruiker $A$ bevriend is met gebruiker $B$, dan is gebruiker $B$ ook bevriend met gebruiker $A$.
Gebeurtenissen van de volgende soort kunnen herhaaldelijk een voor een plaatsvinden:
Drie gebruikers $A$, $B$ en $C$ zodat $A$ bevriend is met zowel $B$ als $C$, maar $B$ en $C$ niet bevriend zijn, veranderen hun vriendschapsstatussen zodanig dat $B$ en $C$ vrienden worden, maar $A$ niet langer bevriend is met $B$ noch met $C$. Alle overige vriendschapsstatussen blijven onveranderd.
In het begin hebben $1010$ gebruikers ieder $1009$ vrienden en hebben $1009$ gebruikers ieder $1010$ vrienden.
Bewijs dat er een reeks van zulke gebeurtenissen bestaat zodanig dat op het eind iedere gebruiker bevriend is met ten hoogste een andere gebruiker.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
Bepaal alle paren $(k,n)$ van positieve gehele getallen zodanig dat
\[
k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).
\]
Vraag 2 Opgelost!
De Bank van Bath geeft munten uit met een $H$ op de ene kant en een $T$ op de andere kant.
Harry heeft $n$ van deze munten van links naar rechts op een rij gelegd.
Hij voert herhaaldelijk de volgende handeling uit: als er precies $k \ge 1$ munten zijn die met de $H$ naar boven liggen, dan draait hij de
$k^{\mathrm{de}}$ munt van links om; als alle munten met de $T$ naar boven liggen, dan stopt hij.
Bijvoorbeeld, als $n=3$ en hij start met de beginrij $THT$, dan krijgt hij achtereenvolgens $THT \to HHT \to HTT \to TTT$ en stopt hij na drie handelingen.
Bewijs dat Harry voor elke beginrij na een eindig aantal handelingen stopt.
Voor elke beginrij $C$ definiëren we $L(C)$ als het aantal handelingen totdat Harry stopt. Bijvoorbeeld: $L(THT)=3$ en $L(TTT)=0$.
Bepaal de gemiddelde waarde van $L(C)$ over alle $2^n$ mogelijke beginrijen $C$.
Vraag 3
De ingeschreven cirkel $\omega$ van scherphoekige driehoek $ABC$ met $|AB|\neq |AC|$ raakt de zijden $BC$, $CA$ en $AB$ in respectievelijk $D$, $E$ en $F$, en heeft middelpunt $I$.
De loodlijn op $EF$ door $D$ snijdt $\omega$ opnieuw in $R$. Lijn $AR$ snijdt $\omega$ opnieuw in $P$. De omgeschreven cirkels van driehoeken $PCE$ en $PBF$ snijden elkaar opnieuw in $Q$.
Bewijs dat lijnen $DI$ en $PQ$ elkaar snijden op de loodlijn op $AI$ door $A$.
