IMO 2017
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Voor elk geheel getal $a_0 > 1$, definieren we de rij $a_0, a_1, a_2, \ldots$ voor $n \geq 0$ als
$$a_{n+1} =
\begin{cases}
\sqrt{a_n} & \text{als } \sqrt{a_n} \text{ is geheel,} \\
a_n + 3 & \text{anders.}
\end{cases}
$$
Bepaal alle waarden van $a_0$ zodat er een getal $A$ bestaat zodat $a_n = A$ voor oneindig veel waarden van $n$.
Vraag 2 Opgelost!
Vind alle functies $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ zodat voor elke $x,y \in \mathbb R$ geldt dat $$f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).$$
Vraag 3 Opgelost!
Een jager en een onzichtbaar konijn spelen een spel in het euclidisch vlak. Het startpunt
$A_0$ van het konijn en het startpunt $B_0$ van de jager zijn gelijk. Na $n-1$ rondes van het spel is het konijn in punt $A_{n-1}$ en de jager in punt $B_{n-1}$. In de $n^{de}$ ronde van het spel gebeuren er achtereenvolgens drie dingen.
$(i)$ Het konijn verplaatst zich onzichtbaar naar een punt $A_n$ zodanig dat de afstand tussen $A_{n-1}$ en $A_n$ precies $1$ is.
$(ii)$ Een traceersysteem rapporteert een punt $P_n$ aan de jager. De enige garantie die het traceersysteem de jager biedt, is dat de afstand tussen $P_n$ en $A_n$ hoogstens $1$ is.
$(iii)$ De jager verplaatst zich zichtbaar naar een punt $B_n$ zodanig dat de afstand tussen $B_{n-1}$ en $B_n$ precies $1$ is.
Is het voor de jager altijd mogelijk om ongeacht hoe het konijn zich verplaatst en welke punten
het traceersysteem rapporteert zijn verplaatsingen zodanig te kiezen dat na $10^9$ rondes de afstand tussen hem en het konijn hoogstens $100$ zal zijn?
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
Laat R en S verschillende punten op een cirkel $\Omega$ zijn zodanig dat lijnstuk RS geen middellijn van $\Omega$ is. Zij $\ell$ de raaklijn aan $\Omega$ in R.
Zij punt T zodanig dat S het midden is van lijnstuk RT. Het punt J ligt op de korte boog RS van
zodanig dat de omgeschreven cirkel $\Gamma$ van driehoek JST lijn $\ell$ snijdt in twee verschillende punten. Zij A het snijpunt van $\Gamma$ en $\ell$ dat het dichtst bij R
ligt. De lijn AJ snijdt $\Omega$ opnieuw in K. Bewijs dat lijn KT raakt aan $\Gamma$.
Vraag 2 Opgelost!
Zij gegeven een geheel getal $N$ > $2$. Een groep van $N(N +1)$ voetballers, allemaal van
verschillende lengte, staat op een rij. De bondscoach wil $N(N-1)$ voetballers uit deze rij verwijderen zodat een rij van $2N$ voetballers overblijft die aan de volgende $N$ voorwaarden voldoet:
(1) er staat niemand tussen de twee langste voetballers,
(2) er staat niemand tussen de op twee na langste en de op drie na langste voetballer,
$\ldots$
(N) er staat niemand tussen de twee kortste voetballers.
Bewijs dat dit altijd mogelijk is.
Vraag 3 Opgelost!
Een geordend paar gehele getallen $(x, y)$ is een primitief roosterpunt als de grootste
gemene deler van $x$ en $y$ gelijk aan $1$ is. Gegeven een eindige verzameling $S$ van primitieve roosterpunten, bewijs dat er een (strikt) positief geheel getal $n$ en gehele getallen $a_0, a_1, \ldots , a_n$ bestaan zodanig dat voor alle $(x, y)$ in $S$ geldt dat $$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$
