starten met een col van 3e categorie

We doen gevalsonderscheid op de waarde $a_0$ modulo $3$.

(1) $a_0 \equiv 2 (mod 3)$. Omdat alle kwadraten congruent zijn met $0$ of $1$ modulo $3$, zal deze nooit een kwadraat tegenkomen, want alle termen zullen van deze vorm zijn, waardoor de rij volledig kan uitgedrukt worden met $a_{n+1}=3+a_n$. De rij vertoont lineaire groei en elke waarde komt slechts één keer voor.

(2) $a_0 \equiv 0 (mod 3)$. We zullen bewijzen dat al deze waarden van $a_0$ voldoen, per inductie. We weten dat de rij zal voldoen aan $a_{n+1}=3+a_{n}$ tot er een kwadraat in de rij tevoorschijn komt. We moeten het dus enkel bewijzen voor alle kwadraten die een veelvoud zijn van $3$; voor alle andere $a_0$ zal $a_n$ op een gegeven moment een kwadraat bereiken, waarna via deze bewijsmethode het te bewijzen alsnog bewezen kan worden.

Inductiebegin: de stelling geldt voor $a_0=9$. Inderdaad, hieruit volgt namelijk $a_1=3$, $a_2=6$ en $a_3=9$, waarna de rij zich telkens opnieuw herhaalt.

Inductiehypothese: we veronderstellen dat de stelling geldt voor alle kwadraten kleiner dan of gelijk aan $a_0=(3x-3)^2$ die een veelvoud zijn van $3$.

Inductiestap: stel $a_0=(3x)^2$. Dan $a_1=3 x$. Dan zal ofwel, indien het eerste kwadraat dat bereikt wordt kleiner dan of gelijk aan $(3x-3)^2$ is, de stelling gelden volgens de inductiehypothese, ofwel zal het eerste kwadraat dat terug bereikt wordt $(3x)^2$ zijn, waarna de hele procedure zich herhaalt.

(3) Stel $a_0 \equiv 1 (mod 3)$. Per inductie zullen we bewijzen dat geen enkele waarde van die vorm voldoet. De waarden zullen oplopen tot ze een kwadraat van de vorm $(3x+1)^2$ of $(3x+2)^2$ bereiken, en in het laatste geval zal $a_1=3x+2 \equiv 2 (mod 3)$, waarna we klaar zijn volgens (1). We zullen dus enkel inductie toepassen op alle kwadraten van de vorm $(3x+1)^2$.

Inductiebegin: stel $a_0=16$. Dan $a_1=4$ en $a_2=2$ Dit is congruent met 2 modulo $3$. Volgens (1) is dan nooit aan de stelling voldaan.

Inductiehypothese: we veronderstellen dat de stelling geldt voor alle kwadraten kleiner dan of gelijk aan $a_0=(3x-2)^2$ die congruent zijn met $1$ modulo $3$ (hierbij is $x\ge 2$)

Inductiestap: beschouw $a_0=(3x+1)^2$. Dan zal $a_1=3x+1$. Indien $a_1 \leq (3x-2)^2$, zijn we klaar wegens de inductiehypothese. Dit zal altijd het geval zijn, want:
$3x+1 \leq (3x-2)^2 \Leftrightarrow 9 x^2-15x +3\ge 0$, wat steeds het geval is voor $x \ge 2$ (de dalparabool heeft grootste wortel $\frac{5+\sqrt{13}}{6}$)

We kunnen dus concluderen dat enkel bij $a_0=3 x$ aan de stelling voldaan is. Q.E.D.