een meetkundige col van 3e categorie
Opgave - IMO 2017 dag 2 vraag 1
Laat R en S verschillende punten op een cirkel $\Omega$ zijn zodanig dat lijnstuk RS geen middellijn van $\Omega$ is. Zij $\ell$ de raaklijn aan $\Omega$ in R.
Zij punt T zodanig dat S het midden is van lijnstuk RT. Het punt J ligt op de korte boog RS van
zodanig dat de omgeschreven cirkel $\Gamma$ van driehoek JST lijn $\ell$ snijdt in twee verschillende punten. Zij A het snijpunt van $\Gamma$ en $\ell$ dat het dichtst bij R
ligt. De lijn AJ snijdt $\Omega$ opnieuw in K. Bewijs dat lijn KT raakt aan $\Gamma$.
- login om te reageren
Oplossing
Wegens de eigenschap van de raakomtrekshoek geldt dat $KT$ raakt $\Gamma \Leftrightarrow \widehat{RTK}=\widehat{TAS}$. Dit zullen we dus bewijzen, m.b.v. volgende twee lemma's.
Lemma 1 $AT \parallel RK$
Wegens gelijkheid van omtrekshoeken op dezelfde boog en het feit dat de som van de overstaande hoeken in een koordenvierhoek $180°$ is, geldt dat $\widehat{AKR}=\widehat{JSR}=180°-\widehat{TSJ}=\widehat{TAJ}$, waaruit tevens volgt dat $AT \parallel RK$ en dus $\widehat{ATS}=\widehat{SRK}$.
Lemma 2 $\widehat{TSK}=\widehat{ARK}$
Uit de eigenschap van de raakomtrekshoek en het feit dat de som van de hoeken van een driehoek $180°$ is volgt dat:
$\widehat{TSK}=180°-\widehat{KSR}=\widehat{SKR}+\widehat{TRK}$
$=\widehat{SRA}+\widehat{TRK}=\widehat{ARK}$
Noem het spiegelbeeld van $K$ om $S$ $K'$. Omdat de diagonalen elkaar middendoor snijden, is de vierhoek $TKRK'$ een parallelogram. Maar wegens Lemma 1 en het vijfde axioma van Euclides moet dan $K'$ op $AT$ liggen.
We vinden nu dat $\widehat{RTK}=\widehat{TAS}$
$\Leftrightarrow \widehat{K'RS}=\widehat{TAS}$
$\Leftrightarrow AK'SR$ is een koordenvierhoek
$\Leftrightarrow \widehat{TAR}+\widehat{K'SR}=180°$
$\Leftrightarrow \widehat{TAR}+\widehat{TSK}=180°$. Die laatste gelijkheid is waar, want wegens Lemma 2 en Lemma 1 geldt dat
$\widehat{TAR}+\widehat{TSK}=\widehat{TAR}+\widehat{ARK}=180°$.
Q.E.D.