IMO 2014
Dag 1
Vraag 1 Opgelost!
Zij $a_0 < a_1 < a_2 < \dots $ een oneindige rij van (strikt) positieve gehele getallen. Bewijs dat er een uniek geheel getal $n \geq 1$ bestaat zodat
$a_n<\frac1n(a_0+a_1+\dots+a_n)\leq a_{n+1}$
Vraag 2 Opgelost!
Zij $n\geq 2$ een geheel getal. Beschouw een $n\times n$- schaakbord bestaande uit $n^2$ eenheidsvierkantjes. Een opstelling van $n$ torens op dit bord heet vreedzaam als er in elke rij en in elke kolom precies één toren staat.
Bepaal het grootste positieve gehele getal $k$ zodanig dat er, voor elke vreedzame opstelling van $n$ torens, een $k\times k$-vierkant bestaat waarbij op geen van zijn $k^2$ eenheidsvierkantjes een toren staat.
Vraag 3
Zij $ABCD$ een convexe vierhoek met $\widehat{ABC}=\widehat{CDA}=90$°. Punt $H$ is het voetpunt van de loodlijn vanuit $A$ op $BD$ Punten $S$ en $T$ liggen respectievelijk op de lijnstukken $AB$ en $AD$ zodanig dat $H$ in het inwendige van driehoek $SCT$ ligt en $\widehat{CHS}-\widehat{CSB}=90$° en $\widehat{THC}-\widehat{DTC}=90$°. Bewijs dat $BD$ een raaklijn is aan de omgeschreven cirkel van driehoek $TSH$.
Dag 2
Vraag 1 Opgelost!
zij $ABC$ een scherphoekige driehoek. PUnten $P$ en $Q$ liggen op het lijnstuk $BC$ zodanig dat $\widehat{PAB}=\widehat{BCA}$ en $\widehat{CAQ}=\widehat{ABC}$. Punten $M$ en $N$ liggen resp. op de lijnen $AP$ en $AQ$, zodanig dat $P$, $Q$ middens zijn van resp. $AM$, $AN$.
Bewijs dat het snijpunt van de lijnen $BM$ en $CN$ op de omgeschreven cirkel van driehoek $ABC$ ligt.
Vraag 2 Opgelost!
Voor elk (strikt) positief geheel getal $n$ geeft de Bank van Kaapstad munten uit van waarde $\frac1n$. Zij gegeven een eindig aantal van zulke munten (niet noodzakelijk van verschillende waarde) waarvan de totale waarde niet meer dan $99+\frac12$ is.
Bewijs dat het mogelijk is om deze munten te verdelen in $100$ of minder stapeltjes, zodanig dat elk stapeltje hoogstens waarde $1$ heeft.
Vraag 3
Een verzameling lijnen in het vlak is in algemene positie als geen twee lijnen parallel zijn en geen drie lijnen collineair.
Een verzameling lijnen in algemene positie snijdt het vlak in gebieden (sommige eindige oppervlakte, sommige oneindige opperlvlakte).
Bewijs dat voor alle grote $n$ in een verzameling van $n$ lijnen in algemene positie het mogelijk is minstens $\sqrt{n}$ lijnen blauw te kleuren op zo'n wijze dat er geen enkele regio met eindige oppervlakte is waarvan de omtrek volledig blauw is.
***
opmerking: op deze olympiade kreeg je (nog) gedeeltelijk punten, afhangend van je resultaat, indien je een afschatting kon vinden van de vorm $c\sqrt{n}$, met $c$ een constante. (bvb $c=\frac{1}{\sqrt{2}}$ gaf nog 3/7)
