IMO 2012

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Zij $\triangle ABC$ een driehoek en zij J het middelpunt van de aangeschreven cirkel tegenover
het hoekpunt A.
Deze aangeschreven cirkel raakt aan de zijde BC in M, en aan de lijnen AB en AC
in respectievelijk K en L.
De lijnen LM en BJ snijden elkaar in F, en de lijnen KM en CJ snijden elkaar in G.
Zij S het snijpunt van de lijnen AF en BC, en zij T het snijpunt van de lijnen $AG$ en $BC$.

Bewijs dat M het midden is van lijnstuk ST.

(De aangeschreven cirkel van $\triangle ABC$ tegenover het hoekpunt A is de cirkel die raakt aan het lijnstuk
BC, aan de halfrechte AB voorbij B, en aan de halfrechte AC voorbij C.)

Vraag 2 Opgelost!

Zij $n \ge 3$ en $a_2,a_3, \cdots, a_n>0$ zodat $ \prod_{i=2}^{i=n} a_i =1.$
TB: $$\prod_{i=2}^{i=n} (1+a_i )^i > n^n.$$

Vraag 3

Het liegebeestspel wordt gespeeld door $2$ spelers $A$ en $B.$
Bij de start kiest $A$ natuurlijke getallen $x,N$ met $1 \le x \le N$ en zegt enkel de waarde $N$ aan $B$.
Speler $B$ mag nu enkel vragen stellen door een set $S$ te geven aan A en vragen of $x$ in $S$ zit. (hij mag meerdere keren de zelfde verzameling geven)
$A$ antwoordt met ja of nee , maar mag liegen op zo'n wijze dat tussen iedere $k+1$ opeenvolgende vragen, hij minstens $1$ keer eerlijk antwoordde.
$B$ mag zoveel vragen (eindig natuurlijk) stellen en moet dan een set $X$ geven met $n$ gehele getallen. Als $x \in X$ wint $B$ en anders verliest hij.
Bewijs dat
$1$ Als $n\ge 2^k$, $B$ een winnende strategie heeft.
$2$ Als $k$ groot genoeg is, er is een natuurlijke $n \ge 1.99^k$ zodat $B$ geen winnende strategie heeft.

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle functies $f $ : $ \mathbb Z \to \mathbb Z$ die voldoen aan de gelijkheid $$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2[f(a)f(b)+f(a)f(c)+f(c)f(b)]$$ $\forall a,b,c \in \mathbb Z$ zodat $a+b+c=0.$

Vraag 2 Opgelost!

Zij $\triangle ABC$ een driehoek met $\angle BCA = 90^{\circ}$ en zij $D$ het voetpunt van de hoogtelijn vanuit C.
Zij $X$ een punt in het inwendige van het lijnstuk CD.
Zij $K$ het punt op het lijnstuk AX zodat $|BK| = |BC|$.
Analoog, zij L het punt op het lijnstuk BX zodat $|AL| = |AC|$.
Zij $M$ het snijpunt van AL en BK.
Bewijs dat $|MK| = |ML|$.

Vraag 3

Bepaal alle gehele getallen $n>0$ waarvoor er natuurlijke getallen $a_1,a_2 \cdots a_n$ bestaan zodat $$\frac 1 {2^{a_1}}+\frac 1 {2^{a_2}}+\cdots + \frac 1 {2^{a_n}}= \frac 1 {3^{a_1}}+\frac 2 {3^{a_2}}+\cdots + \frac n {3^{a_n}}.$$