IMO 1992

Dag 1

Vraag 3

Gegeven zijn negen punten in de ruimte met al hun verbindingslijnen,
waarbij geen vier punten in een vlak liggen. Een aantal verbindingslijnen
wordt blauw gekleurd, een aantal rood en de overige blijven ongekleurd.
Bepaal de kleinste waarde van $ n \in N$ met de eigenschap dat als precies
$n$ verbindingslijnen gekleurd zijn, de verzameling van gekleurde verbindingslijnen een driehoek bevat waarvan de zijden dezelfde kleur hebben.

Dag 2

Vraag 3

Voor elk positief geheel getal n wordt S(n) als volgt gedefinieerd: S(n) is
het grootste positieve gehele getal zodanig, dat voor elk natuurlijk getal
$k \le S(n)$ het getal $n^2$ te schrijven is als de som van $k$ kwadraten van
positieve gehele getallen.
(a) Bewijs dat $S(n) \le n^2-14$ voor alle $n > 4.$
(b) Bepaal een getal $n$ waarvoor geldt $S(n) = n^2 - 14.$
(c) Bewijs dat er oneindig veel positieve gehele getallen zijn
waarvoor geldt $S(n) = n^2 - 14.$