IMO 1990

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

In een cirkel tekent men de koorden $AB,CD$ die snijden in het punt $E$ (dat binnenin de cirkel ligt).
Het punt $M$ is $\in [BE]$ en er geldt dat $t=\frac{|AM|}{|AB|}.$
Men tekent de omgeschreven cirkel van$\triangle DEM$ en de raaklijn door $E$ aan deze cirkel snijdt $BC,AC$ in resp. $F,G.$
Vindt $\frac{|EG|}{|EF|}$ in functie van $t.$

Vraag 2

Beschouw een verzameling $V$ van $2n-1, n > 3$, verschillende punten op de
omtrek van een cirkel. Veronderstel dat precies k van deze punten zwart
gekleurd worden. Zo'n kleuring heet `goed' als er ten minste $1$ paar
zwarte punten bestaat zodanig, dat op $1$ van de twee cirkelbogen tussen
die twee punten precies n punten van V liggen. Bepaal de kleinste waarde
voor k met de eigenschap dat elke kleuring van k punten uit $V$ `goed' is.

Vraag 3 Opgelost!

Bepaal alle gehele getallen $n > 1$, zodanig dat $\frac{2^n+1}{n^2}$ een geheel getal is.

Dag 2

Vraag 1

Geef een functie $f Q+ \to Q+$ met de eigenschap:
$f(xf(y)) = \frac{f(x)}y$
voor alle $x, y \in Q+ .$

Vraag 2

Ga uit van een geheel getal $n_0 > 1.$ Twee spelers A en B kiezen afwisselend
gehele getallen $n_1,n_2 \cdots$ volgens de volgende regels:
(1) uitgaande van $n_{2k}$ kiest A een geheel getal $n_{2k+1}$ zodanig,
dat $n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^2$
(2) uitgaande van $n_{2k+1}$kiest B een geheel getal n2k+2 zodanig, dat
$\frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}}$

van de gedaante $p^r$ is, waarbij p een priemgetal is en r$ \in N.$
Speler A wint als hij het getal 1990 kiest, speler B wint als hij het getal 1
kiest.
(a) Voor welke waarden van $n_0$ kan speler A winst afdwingen?
(b) Voor welke waarden van $n_0$ kan speler B winst afdwingen?
(c) Voor welke waarden van $n_0$ kan geen van beide spelers winst
afdwingen?

Vraag 3

Bewijs dat er een convexe 1990-hoek bestaat met de volgende
eigenschappen:
(1) alle hoeken zijn gelijk;
(2) de lengten van de zijden zijn een permutatie van de getallen
$1^2,2^2,3^2 \cdots 1990^2$