Home › Archief › Internationale Olympiades › IMO › 1990 › verhouding f(t)

verhouding f(t)

Tags:

Opgave - IMO 1990 dag 1 vraag 1

In een cirkel tekent men de koorden $AB,CD$ die snijden in het punt $E$ (dat binnenin de cirkel ligt).
Het punt $M$ is $\in [BE]$ en er geldt dat $t=\frac{|AM|}{|AB|}.$
Men tekent de omgeschreven cirkel van$\triangle DEM$ en de raaklijn door $E$ aan deze cirkel snijdt $BC,AC$ in resp. $F,G.$
Vindt $\frac{|EG|}{|EF|}$ in functie van $t.$

Oplossing

Ingediend door Tijs B.

Er geldt dat $A, C, B$ en $D$ in die volgorde op de cirkel liggen, anders zou $E$ niet binnen de cirkel liggen. (Door een spiegeling kan je wijzerzin of tegenwijzerzin veranderen)

Nu moet $\widehat{FEC}=\widehat{DEG}=\widehat{DME}=\widehat{DMA}$ (stelling van de raakomtrekshoek, en de raakomtrekshoek gelijk aan $\angle DME > \angle DBE = \angle DCA$ zodat $G, A,C$ wel degelijk in deze volgorde op een rechte liggen), en $\widehat{CEG}=180°-\widehat{FEC}=180°-\widehat{DME}=\widehat{BMD}$. Ook is, omdat omtrekshoeken op dezelfde boog gelijk zijn, $\widehat{ECF}=\widehat{DCB}=\widehat{DAB}=\widehat{DAM}$ en $\widehat{ECG}=\widehat{DCA}=\widehat{DBA}=\widehat{DBM}$. Hieruit volgt dat $\Delta ECG \sim \Delta MBD$ en $\Delta EFC \sim \Delta MDA$. Dus:

$\frac{EC}{EG}=\frac{MB}{MD}$ en $\frac{EF}{EC}=\frac{MD}{MA}$. Hieruit volgt:

$\frac{EF}{EG}=\frac{MB}{MA}=\frac{AB-MA}{MA}=\frac 1t-1 \Rightarrow \frac{EG}{EF}=\frac{t}{1-t}$. Q.E.D.