IMO 1985

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

In een koordenvierhoek $ABCD$ ligt het middelpunt van de cirkel die $AB,BC,CD$ raakt op $[AD].$
Bewijs dat $|AB|+|CD|=|AD|.$

Dag 2

Vraag 1 Opgelost!

Gegeven is een verzameling M van $1985$ verschillende gehele getallen groter
dan nul. Geen van die getallen heeft een priemdeler groter dan $26$.
Bewijs dat M vier getallen bevat waarvan het product de vierde macht is van een
geheel getal.

Vraag 3

Bij elk reeel getal $x_1$ wordt als volgt een rij $x_1, x_2, x_3, ...$: geconstrueerd:
$x_{n+1 } = x_n(x_n +\frac{1}{n})$ voor elke $n\in N$ :
Bewijs dat er precies $1$ waarde $x_1$ is waarvoor geldt dat
$0 < x_n < x_{n+1} < 1$ voor elke $n\in N$.