a+c=d

We behandelen hier het geval waar de cirkel $[AB], [BC], [CD]$ raakt. Alle andere gevallen lopen volledig analoog.

Laat $O$ het middelpunt van die cirkel zijn. Zij $E, F, G$ de loodrechte projectie van $O$ op $AB$, $BC$, $CD$ resp. We stellen WLOG dat de straal van de cirkel $1$ is (we kunnen naar een andere straal gaan met een homothetie). Stel $\beta=\widehat{EAO}$ en $\gamma=\widehat{GDO}$. Merk nu op dat $\Delta BEO \cong \Delta BFO$ (ZZ90°), dus is $\widehat{BOE}=90°-\widehat{OBE}=90°-\frac 12 \widehat{FBE}=90°-\frac 12 (180°-\gamma)=\frac 12 \gamma $ ($ABCD$ is een koordenvierhoek). Analoog is $\widehat{COG}=\frac 12 \beta$. Nu zal:

- $|EA|= \cot(\beta)$ en $|DG|=\cot(\gamma)$
- $|OA|=\csc(\beta)$ en $|OD|=\csc(\gamma)$
- $|EB|=\tan(\frac 12 \gamma)$ en $|GC|=\tan(\frac 12 \beta)$.

Uit de identiteit $\tan(\frac 12 \alpha)+\cot(\alpha)=\csc(\alpha)$ volgt dan het gevraagde. Q.E.D.