IMO 1963

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

vind alle wortels van de vergelijking $\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x $ waar p een parameter is.

Vraag 2

Een lijkstuk $[BC]$ is gegeven samen met een punt A.
Vind de locatie van alle punten P zodat $\angle APQ$ negentig graden is, voor een Q op het lijnstuk [BC]

Vraag 3

in een veelhoek waarvan alle hoeken gelijk zijn, geldt voor de opeenvolgende zijdelengten dat $ a_{1}\geq a_{2}\geq\dots\geq a_{n}$.
Bewijs dat de veelhoek regelmatig is.

Dag 2

Vraag 1

Vind alle oplossingen/ solutions $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ Voor het stelsel
$x_5+x_2=yx_1 $
$x_1+x_3=yx_2 $
$x_2+x_4=yx_3 $
$x_3+x_5=yx_4 $
$ x_4+x_1=yx_5 $ met $y$ een parameter.

Vraag 2 Opgelost!

Bewijs dat $ \cos{\frac{\pi}{7}}-\cos{\frac{2\pi}{7}}+\cos{\frac{3\pi}{7}}=\frac{1}{2} $

Vraag 3 Opgelost!

$5$ deelnemers $ A, B, C, D, E $ aan een wedstrijd finishten afzonderlijk.
De voorspeling dat de volgorde $ ABCDE $ zou zijn,
klopte geheel niet: niemand was op de juiste plaats en er waren geen $2$ opeenvolgende lopers naast elkaar in de juiste volgorde voorspelt.
Iemand anders gokte $ DAECB $ als volgorde op de pronostiek waarmee hij $2$ (exact) personen op de juiste plaats had en $2$ disjuncte paar buren van op de pronostiek, waren dit ook echt in dezelfde volgorde.
Bepaal de juiste volgorde aan de meet van deze wedstrijd.