wedstrijd
Opgave - IMO 1963 dag 2 vraag 3
$5$ deelnemers $ A, B, C, D, E $ aan een wedstrijd finishten afzonderlijk.
De voorspeling dat de volgorde $ ABCDE $ zou zijn,
klopte geheel niet: niemand was op de juiste plaats en er waren geen $2$ opeenvolgende lopers naast elkaar in de juiste volgorde voorspelt.
Iemand anders gokte $ DAECB $ als volgorde op de pronostiek waarmee hij $2$ (exact) personen op de juiste plaats had en $2$ disjuncte paar buren van op de pronostiek, waren dit ook echt in dezelfde volgorde.
Bepaal de juiste volgorde aan de meet van deze wedstrijd.
- login om te reageren
Oplossing
We kijken eerst welke $2$ van $DAECB$ op de juiste plaats gefinisht zijn. Als die twee naast elkaar staan, hebben we ineens al één van de twee paren die op de juiste volgorde gefinisht zijn. Als die twee niet naast elkaar staan, moeten we nog $2$ paren vinden die op volgorde gefinisht zijn. Wegens het duivenhokpricipe moet minstens één van die personen ook een persoon zijn die op de juiste plaats gefinisht is. Maar dit zou betekenen dat er minstens drie mensen op de juiste plaats gefinisht zijn, contradictie.
Dus de twee mensen die juist gefinisht zijn staan naast elkaar.
Meer nog, ze moeten aan de buitenkant staan. Zoniet, zal het andere paar dat in de juiste volgorde gefinisht is op dezelfde plaats staan als de tweede voorspelling (er is geen andere plaats meer over), zodat ze alle vijf op de juiste plaats gefinisht zijn volgens de tweede pronostiek, contradictie.
We moeten nu nog slechts twee gevallen afgaan
1)
$DA$ staan juist:de gevallen $DACBE$ en $DABEC$ kunnen niet, (in het eerste geval staat $C$ op de juist plaats volgens pronostiek $1$ en in het tweede geval staat er $AB$ en dit mag niet wegens pronostiek $1$) en dit zijn de enige mogelijkheden als er nog een paar op volgorde gefinisht moet zijn volgens pronostiek $2$ zonder dat ze allemaal op volgorde gefinisht zijn.
2)
$CB$ staan juist: om dezelfde reden als hierboven zijn de enige mogelijkheden $AEDCB$ en $EDACB$. Het eerste geval kan niet ($A$ staat dan op de juiste plaats volgens pronostiek $1$)
Het tweede geval kan wel en blijft als enige over.
De oplossing is dus $EDACB$.