Trigoniometrie

Laten we een formule voor $\cos(7x)$ afleiden.

Er geldt dat $\cos(3x)=4 \cos^3(x)-3 \cos(x)$ en $\cos(4x)=8 \cos^4(x)-8 \cos^2(x)+1$. Verder geldt ook dat $\sin(3x)=\sin(x)(4 \cos^2(x)-1)$ en $\sin(4x)=4 \sin(x) \cos(x)(2 \cos^2(x)-1)$.

Hieruit volgt dat $\cos(7x)=\cos(3x)\cos(4x)-\sin(3x)\sin(4x)=64 \cos^7 (x)-112 \cos^5 (x)+56 \cos^3(x)-7 \cos(x)$.

Laat $\cos(\frac{\pi}{7})=y$, dan volgt uit de vorige identiteit dat $cos(\pi)=-1=64 y^7-112 y^5+56 y^3-7 y$. Merk op dat $64 y^7-112 y^5+56 y^3-7 y+1=(y+1)(8 y^3-4 y^2-4 y+1)^2=0$. Aangezien $0< \frac{\pi}{7}<1$ geldt tevens dat $0 $<$y$<$1$. Dus $y \neq -1$. Hieruit volgt dat $8 y^3-4 y^2-4 y+1=0$.

Merk nu op dat hieruit volgt dat

$\cos(\frac{3 \pi}{7})-\cos(\frac{2 \pi}{7})+\cos(\frac{\pi}{7})=4y^3-2y^2-2y+1=\frac 12$ Q.E.D.