BxMO 2016

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal het grootste positieve gehele getal $N$ met de volgende eigenschap: er bestaan gehele getallen $x_1,\ldots,x_N$ zodat voor alle $i \not=j$ het getal $x_i^2 −x_ix_j$ niet deelbaar is door $1111$.

Vraag 2 Opgelost!

Zij $n$ > $0$ een positief geheel getal. Veronderstel dat zijn positieve delers opgedeeld kunnen worden in paren op zo’n manier dat de som van elk paar een priemgetal is. Bewijs dat deze priemgetallen allemaal verschillend zijn en dat geen van hen een deler van $n$ is.

Vraag 3 Opgelost!

Bepaal alle functies $f \colon \mathbb R \to \mathbb Z$ zodat

$$ \left( f( f(y)-x ) \right)^2 +f(x)^2+f(y)^2= f(y) \cdot \left( 1+ 2 f(f(y)) \right)$$ geldt voor alle $x,y \in \mathbb R$.

Vraag 4 Opgelost!

Een cirkel $\omega$ gaat door de twee hoekpunten $B$ en $C$ van een driehoek $ABC$. Verder snijdt $\omega$ lijnstuk $AC$ in $D \not= C$ en lijnstuk $AB$ in $E \not= B.$ Op de halfrechte vanuit $B$ door $D$ ligt een punt $K$ zodat $|BK| = |AC|$, en op de halfrechte vanuit $C$ door $E$ ligt een punt $L$ zodat $|CL| = |AB|.$ Bewijs dat het middelpunt $O$ van de omgeschreven cirkel van driehoek $AKL$ op $\omega$ ligt.