Meetkunde mag niet ontbreken

Opgave - BxMO 2016 vraag 4

Een cirkel $\omega$ gaat door de twee hoekpunten $B$ en $C$ van een driehoek $ABC$. Verder snijdt $\omega$ lijnstuk $AC$ in $D \not= C$ en lijnstuk $AB$ in $E \not= B.$ Op de halfrechte vanuit $B$ door $D$ ligt een punt $K$ zodat $|BK| = |AC|$, en op de halfrechte vanuit $C$ door $E$ ligt een punt $L$ zodat $|CL| = |AB|.$ Bewijs dat het middelpunt $O$ van de omgeschreven cirkel van driehoek $AKL$ op $\omega$ ligt.

Oplossing

Merk op dat $|AB|=|CL|$, $|BK|=|AC|$, en $\widehat{ABK}=\widehat{ACL}$, dat laatste omdat $CDEB$ een koordenvierhoek is. Nu impliceert dit wegens ZHZ dat $\Delta ABK \cong \Delta LCA$. Dus $|AK|=|AL|$ (1), $\widehat{ALC}=\widehat{BAK}$ (2) en $\widehat{BKA}=\widehat{CAL}$ (3).

Om configuratieproblemen in de rest van het bewijs te vermijden, zullen we gebruik maken van directed angles. We noteren de directed angle tussen $XY$ en $YZ$ als $\angle XYZ$. In termen van directed angles wordt stelling (2) $\angle ALC= \angle KAB$ en stelling (3) wordt $\angle AKB=\angle LAC$ omdat $\Delta ABK$ en $\Delta LCA$ gelijk georiënteerd zijn.

Nu zal: $\angle AOK= 2 \angle ALK$ ($O$ is het omcentrum van $\Delta AKL$)
$=\angle LAK$ ((1), basishoeken ve gelijkbenige driehoek zijn gelijk)
$=\angle LAC+\angle CAK$
$=\angle AKB+\angle CAK$ ((3))
$=\angle AKD+\angle DAK$ ($C, A, D$ en $K$, $D$, $B$ zijn collineair)
$=\angle ADK$. Dus liggen $A,O,D,K$ op een cirkel (4). Analoog liggen $A, O, L, E$ op een cirkel (5). Nu zal:

$\angle DOE=\angle AOE+\angle DOA$
$=\angle ALE+ \angle DKA$ ((4) en (5))
$=\angle ALC+\angle BKA$
$=\angle KAB+\angle BKA$ ((2))
$=\angle KBA$
$=\angle DBE$. Dus $O, E, B, D$ liggen op een cirkel. Omdat er door elke drie (niet-collineaire) punten slechts één cirkel gaat, betekent dit dat $O \in \omega$. Q.E.D.