BxMO 2011

Dag 1

Vraag 1 Opgelost!

Een geordend paar van gehele getallen $(m, n)$ met $1 < m < n $wordt een Beneluxpaar genoemd als de volgende twee eisen gelden :
$m$ heeft dezelfde priemdelers als $n$, en $m + 1 $ heeft dezelfde priemdelers als $n + 1.$
$(a)$ Vind drie Beneluxparen $(m, n)$ waarvoor geldt dat $m \le 14.$
$(b)$ Bewijs dat er oneindig veel Beneluxparen bestaan.

Vraag 2 Opgelost!

In een driehoek $ABC$ is $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel. De bissectrices $AI, BI$
en $CI$ snijden respectievelijk de zijden $BC, CA$ en $AB$ in de punten $D, E$ en$ F$. De middelloodlijn van het lijnstuk $AD$ snijdt de lijnen $BI$ en $CI$ respectievelijk in $M $ en $N.$
Bewijs dat$ A, I, M$ en $N$ op één cirkel
liggen.

Vraag 3 Opgelost!

Voor elk geheel getal $k$ definiëren we $c(k)$ als de grootste derde macht (van een geheel getal)
kleiner dan of gelijk aan $k.$ Vind alle gehele getallen $p > 1$ waarvoor de volgende rij begrensd is :
$a_0 = p$ en $a_{n+1} = 3a_n - 2c(a_n)$ voor $n > 0.$
(Een rij $a_0, a_1, \cdots$ van reele getallen noemen we begrensd als er een $M\in R$ is, zo dat voor alle $n > 0$ geldt
dat $|a_n| \le M$.)

Vraag 4 Opgelost!

Abby en Brian spelen een spel. Eerst kiezen ze een geheel getal $N > 1$.
Daarna schrijven ze om beurten een getal op een bord.
Abby begint met het opschrijven van $1.$
Vanaf dat moment, wanneer $1$ van hen $n$ opschrijft, moet de ander $n + 1$ of $2n$ opschrijven, onder de voorwaarde dat dat getal niet groter is dan $N.$
Degene die $N$ opschrijft wint het spel.
$(a)$ Bepaal welke speler een winnende strategie heeft als $N = 2011.$
$(b)$ Vind het aantal gehele getallen $1\le N \le 2011$ waarvoor Brian een winnende strategie heeft.