Dieter, Dieter wat doet ge nu

$(a)$ Zijn beneluxparen: $(2,8)$, $(6,48)$ en $(14,224)$.
$(b)$

redenering
Om te bewijzen dat er oneindig veel dergelijke paren bestaan, volstaat het om een voorschrift voor $m$ en $n$ te bepalen waarvan de uitkomst steeds een beneluxpaar is, doorlopend tot in het oneindige. Het is dus niet nodig om hiermee elk bestaand paar te kunnen vormen.

We maken de priemontbinding van $(m,n)$ en $(m+1,n+1)$ voor de gevonden paren:
$(2,2^3)$ --> $(3,3^2)$
$(2*3,2^4*3)$ --> $(7,7^2)$
$(2*7,2^4*7)$ --> $(5*3, 5^2*3^2)$

Wat opvalt bij $(m+1,n+1)$ bij deze 3 paren is dat $n+1 = (m+1)^2$
Werken we dit uit, dan vinden we:
$n + 1 = m^2 + 2m + 1$
$n = m*(m+2)$

Hieruit volgt dat $n$ en $m*(m+2)$ dezelfde priemdelers hebben. Echter hebben ook $m$ en $n$ dezelfde priemdelers bij een beneluxpaar, waardoor we kunnen stellen dat $m+2$ geen andere delers mag hebben dan $m$.

Een logische keuze voor $m$ volgt uit de reeds gevonden paren, waar $m$ steeds de waarde van $2^x -2$ aanneemt (met $x$ een natuurlijk getal groter dan $1$).

oplossing

We herschrijven dus:
$n=(2^x-2)*2^x$ met $x>1$

en verkrijgen zo paren van de vorm $(2^x-2,(2^x-2)*2^x)$. De eerste voorwaarde is steeds voldaan, gezien de $n$ een product is van $m$ en een macht van $2$, terwijl $2$ een deler is van $m$.

Gezien we dit voorschrift hebben opgesteld met $n+1 = (m+1)^2$, hebben $m+1$ en $n+1$ ook steeds dezelfde priemdelers, waardoor ook de tweede voorwaarde voldaan is.

We kunnen dus stellen dat voor alle natuurlijke waarden $x$ groter dan $1$ dit koppel een Beneluxpaar is, gezien de voorwaarden in dat geval steeds voldaan zijn.

Er zijn dus oneindig veel beneluxparen $(m,n)$ van de vorm $(2^x-2,(2^x-2)*2^x)$.