x^n+y^n=z^n

Opgave - BxMO 2011 dag 1 vraag 3

Voor elk geheel getal $k$ definiëren we $c(k)$ als de grootste derde macht (van een geheel getal)
kleiner dan of gelijk aan $k.$ Vind alle gehele getallen $p > 1$ waarvoor de volgende rij begrensd is :
$a_0 = p$ en $a_{n+1} = 3a_n - 2c(a_n)$ voor $n > 0.$
(Een rij $a_0, a_1, \cdots$ van reele getallen noemen we begrensd als er een $M\in R$ is, zo dat voor alle $n > 0$ geldt
dat $|a_n| \le M$.)

Oplossing

Het is duidelijk dat $c(a_n)\le a_n$ met gelijkheid als $a_n=m^3$ en dus $a_{n+1}\ge a_n$ met dezelfde gelijkheidsvoorwaarde. Aangezien het een rij is van natuurlijke getallen divergeert hij als $a_{n+1}> a_n$ voor iedere $n$. Merk op dat als er een derdemacht in voorkomt dat de rij constant wordt. Als er geen enkele derdemacht in voorkomt, divergeert hij.
Als $p=m^3$ is het duidelijk: de rij is constant
Stel $a_n=m^3+k$ met $m^3+k<(m+1)^3 \Leftrightarrow k<3m^2+3m+1$
Dan is $a_{n+1}=m^3+3k<(m+3)^3$ (met deze ongelijkheid volgend uit de vorige ongelijkheid) dus indien $m^3 +3k$ een derdemacht is, dan geldt $m^3+3k=(m+1)^3$ of $(m+2)^3$

Als $m^3+3k=(m+1)^3 \Leftrightarrow 3k=3m^2+3m+1$ wat modulo 3 nooit kan voldoen.
Voor $(m+2)^3$ gebruiken we hetzelfde argument.

Nu is bewezen dat, als de voorgaande term geen volkomen derdemacht is, de volgende dat ook niet is. Bijgevolg is $a_n$ constant enkel als $p$ een derdemacht is. $\blacksquare$